Title: Maths / LinACards
Tags: Def Satz LinA-I-10-Skalarprodukte LinA-I-02-Gruppen LinA-I-06-Matrizen LinA-I-01 Mengen LinA-I-04-Vektorräume LinA-I-05-Basen LinA-I-07-Determinante LinAI-03-Ringe LinA-I-09-Diagonalisierbarkeit LinA-I-07-Basiswechsel

Prompt: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn \(\dots\) \hint{Urbild}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{höchstens} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn \(\dots\) \hint{Urbild}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{mindestens} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn \(\dots\) \hint{Urbild}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{genau} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Umkehrabbildung} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Umkehrabbildung} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist eine Abbildung \(A\from B \noloc g\) in umgekehrter Richtung, sodass beide Kompositionen \(f\circ g \) und \(g\circ f\) jeweils die Identität sind.
\cite{Def.~1.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus von Mengen} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus von Mengen} ist eine Abbildung von Mengen, die eine Umkehrabbildung besitzt (oder: die bijektiv ist).
\cite{Satz~1.23}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \hide{bijektiv} ist.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \emph{bijektiv} ist.
\cite{Satz~1.23}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (I)}
Das Komplement einer Vereinigung ist \hide{der Schnitt der Komplemente.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (I)}
Das Komplement einer Vereinigung ist der Schnitt der Komplemente.
\cite{Satz~1.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (II)}
Das Komplement eines Schnitts ist \hide{die Vereinigung der Komplemente.}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (II)}
Das Komplement eines Schnitts ist die Vereinigung der Komplemente.
\cite{Satz~1.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{\(n\)-stellige Permutation} ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{\(n\)-stellige Permutation} ist eine bijektive Abbildung
\[
\{1,\dots, n\} \xrightarrow{\quad\cong\quad} \{1,\dots,n\}
\]
\cite{Def~2.26}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) besteht aus allen \(n\)-stelligen Permutationen.
\cite{Def~2.26}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) ist die Menge aller \(n\)-stelliger Permutationen zusammen mit \hide{der Komposition} als Verknüpfung.
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) ist die Menge aller \(n\)-stelliger Permutationen zusammen mit der Komposition als Verknüpfung.
\cite{Def~2.26}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Fehlstand} einer Permutation \(\sigma\in S_n\) ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Fehlstand} einer Permutation \(\sigma\in S_n\) ist eine zwei-elementige Teilmenge \(\{i,k\}\subseteq\{1,\dots, n\}\) mit
\begin{align*}
&& i&<k &&\text{ und } &\sigma(i) &> \sigma(k)\\
\text{ (oder}&& i&>k &&\text{ und } &\sigma(i) &< \sigma(k) \text{).}
\end{align*}
\cite{Def~2.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{Signum} einer Permutation \(\sigma\) ist gegeben durch
\[
\mathrm{sgn}(\sigma) := \phantom{(-1)^{\text{Anzahl der Fehlstände von \(\sigma\)}}.}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das \textbf{Signum} einer Permutation \(\sigma\) ist gegeben durch
\[
\signum(\sigma) := (-1)^{\text{Anzahl der Fehlstände von \(\sigma\)}}.
\]
\cite{Satz~2.28}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das Signum definiert einen Gruppenhomomorphismus \(S_n\to \{\pm 1\}\). Das bedeutet:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das Signum definiert einen Gruppenhomomorphismus \(S_n\to \{\pm 1\}\). Das bedeutet:
\[
\signum(\sigma_1\circ\sigma_2) = \signum(\sigma_1)\cdot\signum(\sigma_2)
\]
\cite{Satz~2.28}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item \(\dots\)
\item einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot\colon K\times V\to V\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\)
\item einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot\colon K\times V\to V\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~4.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\)
\item \(\dots\)
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist \(\dots\)
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
\cite{Def.~4.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(\dots\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \(\dots\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \(\dots\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Prompt5: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(\dots\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\), für die \hide{eine lineare Umkehrabbildung \(V\from W \noloc g\) existiert (also \(f\circ g=\id\) und \(g\circ f=\id\)).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\), für die eine lineare Umkehrabbildung \(V\from W \noloc g\) existiert (also \(f\circ g=\id\) und \(g\circ f=\id\)).
\cite{Def.~4.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie \hide{bijektiv} ist.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie \emph{bijektiv} ist.
\cite{Def.~4.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Monomorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Monomorphismus} ist eine \emph{injektive} lineare Abbildung.
\cite{Def.~4.15}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Epimorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Epimorphismus} ist eine \emph{surjektive} lineare Abbildung.
\cite{Def.~4.15}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine lineare Abbildung mit gleichem Definitions- und Werteraum: \(V\to V\).
\cite{Def.~4.15}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer4: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist ein Vektorraum-Isomorphismus mit gleichem Definitions- und Werteraum: \(V\xrightarrow{\cong} V\).
\cite{Def.~4.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \(K\)-\textbf{lineare Abbildung} ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen, \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(\dots\)
\item \(f(s \vec v)= sf(\vec v)\)\quad für alle \(s\in K\), \(\vec v \in V\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \(K\)-\textbf{lineare Abbildung} ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen, \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(\vec v_1 + \vec v_2) = f(\vec v_1) + f(\vec v_2)\)\quad für alle \(\vec v_1, \vec v_2 \in V\)
\item \(f(s \vec v)= sf(\vec v)\)\quad für alle \(s\in K\), \(\vec v \in V\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~4.12}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \(K\)-\textbf{lineare Abbildung} ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen, \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(\vec v_1 + \vec v_2) = f(\vec v_1) + f(\vec v_2)\)\quad für alle \(\vec v_1, \vec v_2 \in V\)
\item \(\dots\)
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Injektivitätskriterium}
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Injektivitätskriterium}
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern trivial ist (also nur aus dem Nullvektor besteht).
\cite{Satz~4.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren ist eine \hide{\mbox{\emph{endliche}} Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren:}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren ist eine \mbox{\emph{endliche}} Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren:
\[
\overset{\mathclap{\substack{\text{Skalare}\\\downarrow}}}{s_1}
\underset{\mathclap{\substack{\uparrow\\\text{gegebene}\\\text{Vektoren}}}}{\vec v_1} + \dots + s_n {\vec v_n}
\]
\cite{Def.~4.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge eines Vektorraums \(V\) ist \(\dots\) \hint{Linearkombination}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge eines Vektorraums \(V\) ist die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).
\[
\hull{M} = \left\{ \textstyle\sum_{i=1}^n s_i \vec m_i \;\middle\vert\; n\in \NN_0, \vec m_i \in M \right\}
\]
\cite{Def.~4.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge eines Vektorraums \(V\) ist \(\dots\) \hint{Untervektorraum}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge eines Vektorraums \(V\) ist der kleinste Untervektorraum von \(V\), der \(M\) enthält.
\cite{Satz~4.9}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{interne Summe} zweier Untervektorräume ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{interne Summe} zweier Untervektorräume ist die lineare Hülle ihrer Vereinigung (also der kleinste Untervektorraum, der beide enthält).
\cite{Def.~4.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Erzeugendensystem} eines Vektorraums ist eine Teilmenge, \(\dots\) \hint{Hülle}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Erzeugendensystem} eines Vektorraums ist eine Teilmenge, deren lineare Hülle der ganze Vektorraum ist.
\cite{Def.~5.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Teilmenge eines Vektorraums ist \textbf{linear unabhängig}, falls \(\dots\) \hint{kombinieren}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Teilmenge eines Vektorraums ist \textbf{linear unabhängig}, falls sich die Vektoren der Teilmenge nur auf triviale Weise zum Nullvektor linear kombinieren lassen.
\cite{Def.~5.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Basis} eines Vektorraums ist \hide{ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine \textbf{Basis} eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
\cite{Def.~5.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann ein Erzeugendensystem, wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann ein Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor \emph{mindestens} eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus \(M\) besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann linear unabhängig, wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann linear unabhängig, wenn jeder Vektor \emph{höchstens} eine Darstellung als Linearkombination
von Vektoren aus \(M\) besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann eine Basis, wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann eine Basis, wenn jeder Vektor \emph{genau} eine Darstellung als Linearkombination
von Vektoren aus \(M\) besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Basis ist ein \emph{m\hide{inimales}} Erzeugendensystem.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Basis ist ein \emph{minimales} Erzeugendensystem.
\cite{Satz~5.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Basis ist eine \emph{m\hide{aximale}} linear unabhängige Teilmenge.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Basis ist eine \emph{maximale} linear unabhängige Teilmenge.
\cite{Satz~5.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Dimension} eines Vektorraums ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Dimension} eines Vektorraums ist die Kardinalität einer Basis.
\cite{Def.~5.11}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
\cite{Satz~5.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
Jede linear unabhängige Teilmenge lässt sich zu einer Basis ergänzen.
\cite{Satz~5.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Kardinalitätssatz}
\hint{Basen}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Kardinalitätssatz}
Alle Basen eines Vektorraums haben die gleiche Kardinalität.
\cite{Satz~5.9}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für Untervektorräume \(U_1\), \(U_2\) eines Vektorraums gilt:
\[
\dim (U_1 + U_2) = \phantom{\dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für Untervektorräume \(U_1\), \(U_2\) eines Vektorraums gilt:
\[
\dim (U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für eine Quotientenvektorraum gilt:
\[
\dim (V/U) = \phantom{\dim V - \dim U.}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für einen Quotientenvektorraum gilt:
\[
\dim (V/U) = \dim V - \dim U.
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
\[
\dim(V_1\oplus V_2) = \phantom{\dim(V_1) + \dim(V_2)}
\]
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
\[
\dim(V_1\oplus V_2) = \dim(V_1) + \dim(V_2)
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist die Dimension ihres Bildes.
\cite{Def.~5.18}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Rangformel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) gilt:
\[
\rank(f) = \phantom{\dim V - \dim(\ker f)}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Rangformel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) gilt:
\[
\rank(f) = \dim V - \dim(\ker f)
\]
\cite{Satz~5.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Mengen sind \textbf{isomorph}, wenn \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Mengen sind \textbf{isomorph}, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
\bigskip
(Äquivalente Ausdrucksweise:\par Die Mengen haben die gleiche Kardinalität.)
\cite{Def~1.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Mengen \textbf{haben die gleiche Kardinalität}, wenn \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Zwei Mengen \textbf{haben die gleiche Kardinalität}, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
\bigskip
(Äquivalente Ausdrucksweise:\par Die Mengen sind isomorph.)
\cite{Def~1.20\slash Def~1.24}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(M\times M\).
\cite{Def~1.25}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(R_\sim\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad \phantom{(x,y)\in R_\sim}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(R_\sim\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad (x,y)\in R_\sim
\]
\cite{Def~1.25}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[
x\sim x \text{ für alle } x \in M.
\]
\cite{Def~1.26}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[
x\sim y \quad\Leftrightarrow\quad y\sim x
\]
für alle \(x,y\in M\).
\cite{Def~1.26}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[
(x\sim y \text{ und } y \sim z) \quad\Rightarrow\quad x\sim z
\]
für alle \(x,y,z\in M\).
\cite{Def~1.26}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\(\dots\)\\
\(\dots\)\\
\(\dots\)
\end{center}
Relation.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
\cite{Def~1.26}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die zu einer Abbildung \(f\colon M \to N\) gehörige Äquivalenzrelation auf \(M\) ist gegeben durch
\[
x\sim_f y \quad:\Leftrightarrow \quad \phantom{f(x) = f(y).}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Die zu einer Abbildung \(f\colon M \to N\) gehörige Äquivalenzrelation auf \(M\) ist gegeben durch
\[
x\sim_f y \quad:\Leftrightarrow \quad f(x) = f(y).
\]
\cite{Bsp.~iv nach Def~1.25}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus allen Elementen \(y\) mit \(y\sim x\).
\cite{Def.~1.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus allen Äquivalenzklassen von \(M\) bezüglich \(R_\sim\).
\cite{Def.~1.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[
A/\!\sim_f \;\xrightarrow{\quad\cong\quad}\; f(A).
\]
\cite{Satz~1.30}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine (binäre) \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist \hide{eine Abbildung \(M\times M\to M\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine (binäre) \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist eine Abbildung \(M\times M\to M\).
\cite{Def.~2.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[
x\star(y\star z) = (x\star y)\star z
\]
für alle \(x,y,z \in M\).
\cite{Def.~2.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[
x\star y = y\star x
\]
für alle \(x,y \in M\).
\cite{Def.~2.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[
e\star x = x\star e = x
\]
für alle \(x\in M\).
\cite{Def.~2.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(y\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(y\in M\), für das gilt:
\[
x\star y = y\star x = e.
\]
\cite{Def.~2.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus einer Verknüpfung
\(\star\) auf \(G\).
\cite{Def.~2.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\dots\)
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
\cite{Def.~2.3}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\dots\)
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Gruppe \((G,\star)\) ist \textbf{abelsch}, falls \hide{die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Gruppe \((G,\star)\) ist \textbf{abelsch}, falls die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist.
\cite{Def.~2.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Gruppenhomomorphismus}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Gruppenhomomorphismus}, falls gilt:
\[
f(g_1\star g_2) = f(g_1)\ast f(g_2)
\]
für alle \(g_1,g_2 \in G\).
\cite{Def.~2.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Linksnebenklasse} eines Gruppenelements \(g\) bezüglich einer Untergruppe \(H\) von \((G,\star)\) ist die Teilmenge
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Linksnebenklasse} eines Gruppenelements \(g\) bezüglich einer Untergruppe \(H\) von \((G,\star)\) ist die Teilmenge
\[
g\star H := \{g\star h \mid h\in H\}.
\]
\cite{Def.~2.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die Menge aller Linksnebenklassen einer Untergruppe besitzt eine natürliche Gruppenstruktur, sofern \hide{die Untergruppe normal ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die Menge aller Linksnebenklassen einer Untergruppe besitzt eine natürliche Gruppenstruktur, sofern die Untergruppe normal ist.
\cite{Satz~2.21}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) einer Gruppe modulo einer normalen Untergruppe besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) einer Gruppe modulo einer normalen Untergruppe besteht aus den (Rechts = Links)\allowbreak Nebenklassen von \(H\) in \(G\).
\cite{Def~2.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Untergruppe ist \textbf{normal}, wenn \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Untergruppe ist \textbf{normal}, wenn Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
\bigskip
(\(g\star H = H\star g\) für alle \(g\in G\).)
\cite{Def.~2.19}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Verknüpfungen \(+\), \(\cdot\) auf einer Menge \(R\) erfüllen die \textbf{Distributivgesetze}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Verknüpfungen \(+\), \(\cdot\) auf einer Menge \(R\) erfüllen die \textbf{Distributivgesetze}, falls gilt:
\[
\left.\begin{aligned}
(x+y)\cdot z &= (x\cdot z) + (y\cdot z) \\
z\cdot (x+y) &= (z\cdot x) + (z\cdot y)
\end{aligned}\right\}
\text{ für alle } x,y,z\in R.
\]
\cite{Def.~3.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie zwei Verknüpfungen auf \(R\): einer „Addition“ \(+\) und einer „Multiplikation“ \(\cdot\).
\cite{Def.~3.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist \(\dots\)
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
\cite{Def.~3.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\dots\)
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\dots\)
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem auch die Multiplikation kommutativ ist.
\cite{Def.~3.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) ist ein Element, das \hide{ein multiplikatives Inverses besitzt.}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) ist ein Element, das ein multiplikatives Inverses besitzt.
\cite{Def.~3.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) ist \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) ist die Menge aller Einheiten zusammen mit der Multiplikation als Verknüpfung.
\cite{Def.~3.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein kommutativer Ring, in dem \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein kommutativer Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
\cite{Def.~3.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein \hide{kommutativer} Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein \emph{kommutativer} Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
\cite{Def.~3.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Polynom} mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine Symbol der Form
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Polynom} mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine Symbol der Form
\[
a_n X^n + \cdots + a_2 X^2 + a_1 X^1 + a_0
\]
mit \(a_n,\dots,a_2,a_1,a_0 \in R\).
\cite{Def.~3.12}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn \hide{alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.
\cite{Def.~3.12}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Polynomring} \(R[X]\) über einem kommutativen Ring \(R\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Polynomring} \(R[X]\) über einem kommutativen Ring \(R\) besteht aus allen Polynomen mit Koeffizienten in \(R\).
\cite{Def.~3.12-Satz~13}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\] ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\] ist der größte Index \(i\), für den der Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist.
\cite{Def.~3.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\) ist \hide{der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\) ist der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).
\cite{Def.~3.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(B\)\\ \hide{eine Einheit ist,}
\end{quote}
so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
A = B\cdot Q + S
\)
mit \(\deg S<\deg B\).
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(B\)\\
eine Einheit ist,
\end{quote}
so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
A = B\cdot Q + S
\)
mit \(\deg S<\deg B\).
\cite{Satz~3.16}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[\dots\]
\hfill mit \(\deg S<\deg B\).
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\hfill mit \(\deg S<\deg B\).
\cite{Satz~3.16}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\begin{center}
mit \hide{deg S < deg B}.
\end{center}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\begin{center}
mit \(\deg S<\deg B\).
\end{center}
\cite{Satz~3.16}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Kern} eines Gruppenhomomorphismus \[f\colon G_1\to G_2\] besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Kern} eines Gruppenhomomorphismus \[f\colon G_1\to G_2\] besteht aus allen Elementen von \(G_1\), die auf das neutrale Element von \(G_2\) abgebildet werden.
\cite{Def.~2.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\dots\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\) für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \) für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\) für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \) für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\dots\)
\item
\(s\vec u \in U \)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(\dots\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U\)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Vektorraum heißt \textbf{endlich-erzeugt}, falls \hide{er ein endliches Erzeugendensystem\slash eine endliche Basis besitzt.}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Vektorraum heißt \textbf{endlich-erzeugt}, falls er ein endliches Erzeugendensystem\slash eine endliche Basis besitzt.
\medskip
(äquivalent: \textbf{endlich-dimensional})
\cite{Def.~5.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Eine linear unabhängige Teilmenge eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn \hide{sie \(\dim V\) Elemente besitzt.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Eine linear unabhängige Teilmenge eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn sie \(\dim V\) Elemente besitzt.
\cite{Satz~5.13}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein Erzeugendensystem eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn \hide{es \(\dim V\) Elemente besitzt.}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein Erzeugendensystem eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn es \(\dim V\) Elemente besitzt.
\cite{Satz~5.13}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch \hide{Multiplikation mit einer Matrix}.
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch Multiplikation mit einer Matrix.
\cite{Satz~6.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \hide{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
[/latex]
Answer: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \emph{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
\cite{Satz~6.9}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist \hide{der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.}
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.
\medskip
(oder: die Dimension des durch ihre Spalten erzeugten Unterraums)
\cite{Def.~6.13 (Satz~6.33)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \hide{\(A\cdot \vec x = \vec 0\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \(A\cdot \vec x = \vec 0\).
\cite{Def.~6.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\subset K^n\) eines homogenen LGS mit \(n\) Unbestimmten ist ein Untervektorraum der Dimension \hide{\(n-\rank(A)\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\subset K^n\) eines homogenen LGS mit \(n\) Unbestimmten ist ein Untervektorraum der Dimension \(n-\rank(A)\).
\cite{Satz~6.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\phantom{
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
\]
\cite{Satz~6.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{enumerate}[(I)]
\item \hide{Tausche zwei Zeilen.}
\item Multiplizieren eine Zeilen mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{enumerate}[(I)]
\item Tausche zwei Zeilen.
\item Multiplizieren eine Zeilen mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{enumerate}
\cite{Def.~6.18}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{enumerate}[(I)]
\item Tausche zwei Zeilen.
\item \hide{Multiplizieren eine Zeilen mit einem Skalar \(\neq 0\).}
\item Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{enumerate}[(I)]
\item Tausche zwei Zeilen.
\item Multiplizieren eine Zeilen mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item \hide{Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.}
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die Lösungsmenge eines LGS ist invariant unter \hide{\mbox{Zeilen}}\-transformationen.
[/latex]
Answer: [latex]
Die Lösungsmenge eines LGS ist invariant unter \emph{\mbox{Zeilen}}\-transformationen.
\cite{Kor.~6.24}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der \dots
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der \dots
\begin{compactitem}[]
\item \dots der erst Eintrag \(\neq 0\) jeder Zeile eine \(1\) ist,
\item und diese \(1\)'en von Zeile zu Zeile weiter rechts stehen.
\end{compactitem}
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind \hide{die \(1\)en, die jeweils „am Anfang“ der Zeilen stehen.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind die \(1\)en, die jeweils „am Anfang“ der Zeilen stehen.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (NSF) ist eine Matrix \hide{in Zeilenstufenform, in der oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (NSF) ist eine Matrix in Zeilenstufenform, in der oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[
\begin{pmatrix}
\mathbbm{1}_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
(\(\mathbbm{1}_r = \) Einheitsmatrix\\
\phantom{(}\( 0 = \) Nullmatrix beliebiger Größe)
\cite{Def.~6.25}
[/latex]

Prompt: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
[/latex]
Answer: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilentransformationen\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
[/latex]
Answer2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilen- \emph{und} Spaltentransformationen\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich \hide{der Anzahl der Pivot-Elemente.}
[/latex]
Answer: [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich der Anzahl der Pivot-Elemente.
\cite{Rezept~6.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).
\cite{Def.~1.17}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\subset B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).
\[f^{-1}(B') = \{ a\in A\mid f(a) \in B'\}\]
\cite{Def.~1.17}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Die \textbf{Faser} eines Elements \(b\in B\) bezüglich einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{die Menge aller Urbilder von~\(b\).}
[/latex]
Answer3: [latex]
Die \textbf{Faser} eines Elements \(b\in B\) bezüglich einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge aller Urbilder von~\(b\).
\cite{Def.~1.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Rang einer Matrix ist gleich \dots \hint{Spalten}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Rang einer Matrix ist gleich der Dimension des (Unter)\allowbreak Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.
\begin{center}
``Spaltenrang = Rang = Zeilenrang''
\end{center}
\cite{Satz~6.33}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der Rang einer Matrix ist gleich \dots \hint{Zeilen}
[/latex]
Answer2: [latex]
Der Rang einer Matrix ist gleich der Dimension des (Unter)\allowbreak Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.
\begin{center}
``Spaltenrang = Rang = Zeilenrang''
\end{center}
\cite{Satz~6.33}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \hide{Spalten}rang besitzt.
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \emph{Spalten}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
\[\text{z.\,B.} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
2 & 8 & 0\\
0 & 0 & 9\\
7 & 30 & 0
\end{pmatrix}\]
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \hide{Zeilen}rang besitzt.
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltnvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \emph{Zeilen}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
\[\text{z.\,B.} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8\\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3 & 7 & 1
\end{pmatrix}\]
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \hide{\(k\)-te} Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \(k\)-te Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
\cite{Satz~7.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \(k\)-te \hide{Spalte} der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es \hide{invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit}
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit
\[
A' = S^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~7.9}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es \hide{eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit}
[/latex]
Answer2: [latex]
Zwei quadratische Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit
\[
A' = T^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~7.9}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Sei \(A=(a_{ij})_{ij}\).
\[
\det(A) = \phantom{\sum_{\sigma \in S_n} \signum(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Sei \(A=(a_{ij})_{ij}\).
\[
\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \signum(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}
\]
\cite{Def.~8.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
\[
\det(A^T) = \phantom{\det(A)}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\[
\det(A^T) = \det(A)
\]
\cite{Notiz~8.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
\(V\), \(W\) Vektorräume. Eine Abbildung \(f\colon V^n\to W\) ist \textbf{multilinear}, wenn gilt:
\begin{alignat*}{8}
& & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i + \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & & & \phantom{f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n)} \\
& \phantom{\,+} & & \phantom{f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n)} \\
\\
& & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} s\vec v_i} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & \phantom{\,s} & \phantom{\cdot} & \phantom{f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n)}
\end{alignat*}
[/latex]
Answer: [latex]
\(V\), \(W\) Vektorräume. Eine Abbildung \(f\colon V^n\to W\) ist \textbf{multilinear}, wenn gilt:
\begin{alignat*}{8}
& & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i + \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
& \,+ & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
\\
& & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} s\vec v_i} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & {\color{blue}\,s} & \cdot & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n)
\end{alignat*}
\cite{Def.~8.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\(V\), \(W\) Vektorräume. Eine Abbildung \(f\colon V^n\to W\) ist \textbf{multilinear}, wenn gilt:
\begin{alignat*}{8}
& & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
& \,+ & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & & & \phantom{f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i + \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n)} \\
\\
& {\color{blue}\,s} & \cdot & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & & & \phantom{f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} s\vec v_i} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n)} \\
\end{alignat*}
[/latex]
Answer2: [latex]
\(V\), \(W\) Vektorräume. Eine Abbildung \(f\colon V^n\to W\) ist \textbf{multilinear}, wenn gilt:
\begin{alignat*}{8}
& & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
& \,+ & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i + \vec v_i'} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
\\
& {\color{blue}\,s} & \cdot & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} \vec v_i}, \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
= & & & f(\vec v_1, \dots, \vec v_{i-1}, {\color{blue} s\vec v_i} , \vec v_{i+1},\dots, \vec v_n) \\
\end{alignat*}
\cite{Def.~8.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine multilineare Abbildung \(f\colon V^n\to W\) ist \textbf{alternierend}, falls \hide{sie verschwindet, sobald zwei Einträge gleich sind}.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine multilineare Abbildung \(f\colon V^n\to W\) ist \textbf{alternierend}, falls sie verschwindet, sobald zwei Einträge gleich sind.
\[
f(\vec v_1,\dots, {\color{blue}\vec w}, \dots, \vec v_i, \dots, {\color{blue}\vec w}, \dots, \vec v_n) = 0
\]
\cite{Def.~8.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige in den Zeilen
\begin{center}
\dots\\
\dots
\end{center}
Abbildung \(\Mat_K(n\times n) \to K\) mit \(\det(\mathbbm{1}_n) = 1\).
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige in den Zeilen
\begin{center}
multilineare \\
alternierende
\end{center}
Abbildung \(\Mat_K(n\times n) \to K\) mit \(\det(\mathbbm{1}_n) = 1\).
[Genauso auch für Spalten anstellen von Zeilen.]
\cite{Satz~8.7}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige in den Zeilen
\begin{center}
multilineare \\
alternierende
\end{center}
Abbildung \(\Mat_K(n\times n) \to K\) mit \hide{\(\det(\mathbbm{1}_n) = 1\).}
[/latex]

Prompt: [latex]
Beim Vertauschen zweier Zeilen\slash Spalten ändert sich die Determinante \hide{nur um ein Vorzeichen, also um den Faktor \(-1\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Beim Vertauschen zweier Zeilen\slash Spalten ändert sich die Determinante nur um ein Vorzeichen, also um den Faktor \(-1\).
\cite{Bem.~8.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Beim Multiplizieren einer Zeile\slash Spalte mit einem Faktor \(s\in K\) ändert sich die Determinante \hide{um genau diesen Faktor.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Beim Multiplizieren einer Zeile\slash Spalte mit einem Faktor \(s\in K\) ändert sich die Determinante um genau diesen Faktor.
\cite{Bem.~8.8}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Addiert man zu einer Zeile\slash Spalte ein Vielfaches einer anderen, ändert sich die Determinante \hide{nicht.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Addiert man zu einer Zeile\slash Spalte ein Vielfaches einer anderen, ändert sich die Determinante \emph{nicht.}
\cite{Bem.~8.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Multiplikationssatz für die Determinante}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Multiplikationssatz für die Determinante}
\[
\det(AB) = \det(A)\det(B)
\]
\cite{Satz~8.9}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn \hide{sie vollen Rang hat.} \hint{Rang}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat.
\cite{Satz~6.36}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \hide{\(\det A \neq 0\).} \hint{Determinante}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det A \neq 0\).
\cite{Satz~8.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[
\det(A^{-1}) = \phantom{\det(A)^{-1}}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[
\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}
\]
\cite{Satz~8.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Skalar \(s\) ist \textbf{Eigenwert} eines Endomorphismus \(f\), falls es einen Vektor \hide{\(\vec v \neq \vec 0\)} gibt mit \(f(\vec v) = s\vec v\).
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Skalar \(s\) ist \textbf{Eigenwert} eines Endomorphismus \(f\), falls es einen Vektor \(\vec v \neq \vec 0\) gibt mit \(f(\vec v) = s\vec v\).
\cite{Def.~8.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein Skalar \(s\) ist \textbf{Eigenwert} eines Endomorphismus \(f\), falls es einen Vektor \(\vec v \neq \vec 0\) gibt mit \hide{\(f(\vec v) = s\vec v\).}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \textbf{Eigenvektor} eines Endomorphismus \(f\) zu einem Eigenwert \(s\) ist ein Vektor \hide{\(\vec v \neq \vec 0\)} mit \(f(\vec v) = s\vec v\).
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein \textbf{Eigenvektor} eines Endomorphismus \(f\) zu einem Eigenwert \(s\) ist ein Vektor \(\vec v \neq \vec 0\) mit \(f(\vec v) = s\vec v\).
\cite{Def.~8.3}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \textbf{Eigenvektor} eines Endomorphismus \(f\) zu einem Eigenwert \(s\) ist ein Vektor \(\vec v \neq \vec 0\) mit \hide{\(f(\vec v) = s\vec v\).}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Der \textbf{Eigenraum} eines Endomorphismus \(f\colon V \to V\) zu einem Eigenwert \(s\) ist der Untervektorraum
\[
E_f(s) := \phantom{\{ \vec v\in V \mid f(\vec v) = s\vec v\}}
\]
[/latex]
Answer5: [latex]
Der \textbf{Eigenraum} eines Endomorphismus \(f\colon V\to V\) zu einem Eigenwert \(s\) ist der Untervektorraum
\[
E_f(s) := \{ \vec v\in V \mid f(\vec v) = s\vec v\}
\]
\cite{Def.~8.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} eines Endomorphisums \(f\) ist
\[
\chi_f := \phantom{\det(f-X\id)} \in K[X].
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} eines Endomorphisums \(f\) ist
\[
\chi_f := \det(f-X\id) \in K[X].
\]
\cite{Def.~9.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die Eigenwerte eines Endomorphismus sind die \hide{Null\-stellen} seines charakteristischen Polynoms.
[/latex]
Answer: [latex]
Die Eigenwerte eines Endomorphismus sind die Null\-stellen seines charakteristischen Polynoms.
\cite{Satz~9.11}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \hide{Eigenwerte} eines Endomorphismus sind die Nullstellen seines charakteristischen Polynoms.
[/latex]
Answer2: [latex]
Die Eigenwerte eines Endomorphismus sind die Nullstellen seines charakteristischen Polynoms.
\cite{Satz~9.11}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{algebraische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die \hide{Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{algebraische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
\cite{Def.~9.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{geometrische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die \hide{Dimension des zugehörigen Eigenraums.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{geometrische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums.
\cite{Def.~9.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\phantom{\leq}
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\leq
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\]
\cite{Satz~9.15}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\phantom{\geq}
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\geq
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\]
\cite{Satz~9.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Erstes Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum \hide{in die Eigenräume von \(f\) zerfällt.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Erstes Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum in die Eigenräume von \(f\) zerfällt.
\cite{Kor.~9.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Zweites Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und
\item für jeden Eigenwert \hide{die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.}
\end{enumerate}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Zweites Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und
\item für jeden Eigenwert die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
\end{enumerate}
\cite{Satz~9.17}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Zweites Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom \hide{in Linearfaktoren zerfällt}, und
\item für jeden Eigenwert die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die Matrix einer Bilinearform \(\beta\) bezüglich einer geordneten Basis \((\vec b_1, \dots, \vec b_n)\) hat an der Stelle \((i,j)\) den Eintrag
\[
\phantom{\beta(\vec b_i, \vec b_j).}
\]
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Answer: [latex]
Die Matrix einer Bilinearform \(\beta\) bezüglich einer geordneten Basis \((\vec b_1, \dots, \vec b_n)\) hat an der Stelle \((i,j)\) den Eintrag
\[
\beta(\vec b_i, \vec b_j).
\]
\cite{Def.~10.3}
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Prompt: [latex]
Zwei quadratische Matrizen \(A\) und \(A'\) sind \textbf{kongruent}, wenn es eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit
\[
A' = T^T A T.
\]
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Answer: [latex]
Zwei quadratische Matrizen \(A\) und \(A'\) sind \textbf{kongruent}, wenn es eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit
\[
A' = T^T A T.
\]
\cite{Def.~10.5}
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Prompt: [latex]
Zwei quadratische Matrizen sind genau dann kongruent, wenn sie \hide{bezüglich möglicherweise verschiedener Basen dieselbe Bilinearform darstellen.}
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei quadratische Matrizen sind genau dann kongruent, wenn sie bezüglich möglicherweise verschiedener Basen dieselbe Bilinearform darstellen.
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Prompt: [latex]
Eine Bilinearform \(\beta\) ist \textbf{symmetrisch}, wenn gilt:
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Bilinearform \(\beta\) ist \textbf{symmetrisch}, wenn gilt:
\[
\beta(\vec v,\vec w) = \beta(\vec w, \vec v)
\]
für alle Vektoren \(\vec v\), \(\vec w\).
\cite{Def.~10.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Bilinearform \(\beta\) ist \textbf{schief-symmetrisch}, wenn gilt:
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Bilinearform \(\beta\) ist \textbf{schief-symmetrisch}, wenn gilt:
\[
\beta(\vec v,\vec w) = - \beta(\vec w, \vec v)
\]
für alle Vektoren \(\vec v\), \(\vec w\).
\cite{Def.~10.6}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Bilinearform \(\beta\) ist \textbf{alternierend}, wenn gilt:
\[
\phantom{\beta(\vec v,\vec v) = 0}
\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Bilinearform \(\beta\) ist \textbf{alternierend}, wenn gilt:
\[
\beta(\vec v,\vec v) = 0
\]
für alle Vektoren \(\vec v\).
\cite{Def.~10.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung zwischen \(\CC\)-Vektorräummen \(f\colon V\to W\) ist \textbf{konjugiert-linear}, wenn gilt:
\begin{align*}
f(\vec v_1 + \vec v_2) &= \phantom{f(\vec v_1) + f(\vec v_2)} \\
f(s\vec v ) &= \phantom{\bar{s} f(\vec v)}
\end{align*}
für alle \(s\in \CC\) und alle \(\vec v, \vec v_1, \vec v_2 \in V\).
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung zwischen \(\CC\)-Vektorräummen \(f\colon V\to W\) ist \textbf{konjugiert-linear}, wenn gilt:
\begin{align*}
f(\vec v_1 + \vec v_2) &= f(\vec v_1) + f(\vec v_2) \\
f(s\vec v ) &= \bar{s} f(\vec v)
\end{align*}
für alle \(s\in \CC\) und alle \(\vec v, \vec v_1, \vec v_2 \in V\).
\cite{Def.~10.9}
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Prompt: [latex]
Eine \textbf{Sesquilinearform} auf einem \(\CC\)-Vektorraum \(V\) ist eine Abbildung
\[
\eta\colon \phantom{V\times V\to \CC},
\]
die in der ersten Koordinate konjugiert-linear\par
und in der zweiten Koordinate linear ist.
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Answer: [latex]
Eine \textbf{Sesquilinearform} auf einem \(\CC\)-Vektorraum \(V\) ist eine Abbildung
\[
\eta\colon V\times V\to \CC,
\]
die in der ersten Koordinate konjugiert-linear\par
und in der zweiten Koordinate linear ist.
\cite{Def.~10.9}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{Sesquilinearform} auf einem \(\CC\)-Vektorraum \(V\) ist eine Abbildung
\[
\eta\colon V\times V\to \CC,
\]
die in der ersten Koordinate \hide{konjugiert-linear}\par
und in der zweiten Koordinate linear ist.
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Sesquilinearform} auf einem \(\CC\)-Vektorraum \(V\) ist eine Abbildung
\[
\eta\colon V\times V\to \CC,
\]
die in der ersten Koordinate konjugiert-linear\par
und in der zweiten Koordinate \hide{linear ist.}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Sesquilinearform \(\eta\) ist \textbf{hermitesch}, wenn gilt:
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Sesquilinearform \(\eta\) ist \textbf{hermitesch}, wenn gilt:
\[
\eta(\vec v, \vec w) = \overline{\eta(\vec w, \vec v)}
\]
für alle \(\vec v,\vec w\).
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine symmetrische Bilinearform\slash hermitische Sesqui\-linear\-form \(\beta\) ist \textbf{positiv definit}, falls für jeden Vektor \(\vec v\neq \vec 0\) gilt:
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Answer: [latex]
Eine symmetrische Bilinearform\slash hermitische Sesqui\-linear\-form \(\beta\) ist \textbf{positiv definit}, falls für jeden Vektor \(\vec v\neq \vec 0\) gilt:
\[
\underbrace{\beta(\vec v, \vec v)}_{\in \RR} > 0
\]
\cite{Def.~10.12}
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Prompt: [latex]
Ein (reelles) \textbf{Skalarprodukt} auf einem \(\RR\)-Vektorraum ist eine \hide{positiv definite symmetrische Bilinearform.}
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Answer: [latex]
Ein (reelles) \textbf{Skalarprodukt} auf einem \(\RR\)-Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform.
\cite{Def.~10.13}
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Prompt2: [latex]
Ein hermitesches \textbf{Skalarprodukt} auf einem \(\CC\)-Vektorraum ist eine \hide{positiv definite hermitesche Sesquilinearform.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein hermitesches \textbf{Skalarprodukt} auf einem \(\CC\)-Vektorraum ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform.
\cite{Def.~10.13}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{euklidischer Vektorraum} ist \hide{ein \(\RR\)-Vektorraum zusammen mit einem reellen Skalarprodukt.}
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Answer: [latex]
Ein \textbf{euklidischer Vektorraum} ist ein \(\RR\)-Vektorraum zusammen mit einem reellen Skalarprodukt.
\cite{Def.~10.13}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{unitärer Vektorraum} ist \hide{ein \(\CC\)-Vektorraum zusammen mit einem hermitischen Skalarprodukt.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{unitärer Vektorraum} ist ein \(\CC\)-Vektorraum zusammen mit einem hermiteschen Skalarprodukt.
\cite{Def.~10.13}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Norm} eines Vektors \(\vec v\) in einem euklidischen oder unitären Vektorraum \((V,\scprod{\cdot}{\cdot})\) ist gegeben durch
\[
\| \vec v \| := \phantom{\sqrt{\scprod{\vec v}{\vec v}}} \quad \in\RR
\]
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Answer: [latex]
Die \textbf{Norm} eines Vektors \(\vec v\) in einem euklidischen oder unitären Vektorraum \((V,\scprod{\cdot}{\cdot})\) ist gegeben durch
\[
\norm{\vec v} := \sqrt{\scprod{\vec v}{\vec v}} \quad \in\RR
\]
\cite{Def.~10.13}
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Prompt: [latex]
In jedem euklidischen oder unitären Vektorraum gilt die \textbf{Ungleichung von Cauchy-Schwarz}:
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Answer: [latex]
In jedem euklidischen oder unitären Vektorraum gilt die \textbf{Ungleichung von Cauchy-Schwarz}:
\[
\abs{\scprod{\vec v}{\vec w}} \leq \norm{\vec v}\norm{\vec w}
\]
\cite{Satz~10.14}
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Prompt: [latex]
In jedem euklidischen oder unitären Vektorraum gilt die \textbf{Dreiecksungleichung}:
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Answer: [latex]
In jedem euklidischen oder unitären Vektorraum gilt die \textbf{Dreiecksungleichung}:
\[
\norm{\vec v + \vec w} \leq \norm{\vec v} + \norm{\vec w}
\]
\cite{Satz~10.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Vektor \(\vec v\) eines euklidischen oder unitären Vektorraums ist \textbf{normiert}, falls \hide{\(\norm{\vec v} = 1\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Vektor \(\vec v\) eines euklidischen oder unitären Vektorraums ist \textbf{normiert}, falls \(\norm{\vec v} = 1\).
\cite{Def.~10.16}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Vektoren \(\vec v\), \(\vec w\) eines euklidischen oder unitären Vektorraums sind zueinander \textbf{orthogonal}, geschrieben \(\vec v\perp \vec w\), falls \hide{\(\scprod{\vec v}{\vec w} = 0\).}
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Answer2: [latex]
Zwei Vektoren \(\vec v\), \(\vec w\) eines euklidischen oder unitären Vektorraums sind zueinander \textbf{orthogonal}, geschrieben \(\vec v\perp \vec w\), falls \(\scprod{\vec v}{\vec w} = 0\).
\cite{Def.~10.16}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Orthonormalbasis} eines euklidischen oder unitären Vektorraums ist eine Basis, in der \hide{alle Vektoren normiert und paarweise zueinander orthogonal sind.}
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Answer: [latex]
Eine \textbf{Orthonormalbasis} eines euklidischen oder unitären Vektorraums ist eine Basis, in der alle Vektoren normiert und paarweise zueinander orthogonal sind.
\cite{Def.~10.16}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Euklidische Version des Hauptsatzes}
Jeder endlich-dimensionale euklidische Vektorraum besitzt \hide{eine Orthonormalbasis.}
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Answer: [latex]
\textbf{Euklidische Version des Hauptsatzes}
Jeder endlich-dimensionale euklidische Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis.
\cite{Satz~10.17}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Unitäre Version des Hauptsatzes}
Jeder endlich-dimensionale unitäre Vektorraum besitzt \hide{eine Orthonormalbasis.}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Unitäre Version des Hauptsatzes}
Jeder endlich-dimensionale unitäre Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis.
\cite{Satz~10.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{orthogonale Komplement} eines Untervektorrraums \(W\) in einem euklidischen\slash unitärer Vektorraum \(V\) ist gegeben durch
\[
W^\perp := \phantom{\left\{ \vec v\in V \mid \vec v \perp \vec w \text{ für alle } \vec w \in W\right\}}
\]
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Answer: [latex]
Das \textbf{orthogonale Komplement} eines Untervektorrraums \(W\) in einem euklidischen\slash unitärer Vektorraum \(V\) ist gegeben durch
\[
W^\perp := \left\{ \vec v\in V \mid \vec v \perp \vec w \text{ für alle } \vec w \in W\right\}
\]
\centerline{``\(W\) senkrecht''}
\cite{Def.~10.19}
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Prompt: [latex]
Für jeden Untervektorraum \(W\) zerfällt ein endlich-dimensionaler euklidischer\slash unitärer Vektorraum \(V\) in \hide{\(W\) und \(W^\perp\).}
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Answer: [latex]
Für jeden Untervektorraum \(W\) zerfällt ein endlich-dimensionaler euklidischer\slash unitärer Vektorraum \(V\) in \(W\) und \(W^\perp\):
\[
V = W \oplus W^\perp.
\]
\cite{Kor.~10.20}
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Prompt: [latex]
Eine \textbf{Isometrie} eines euklidischen\slash unitären Vektorraums \((V,\scprod{\cdot}{\cdot})\) ist ein Endomorphismus \(f\), für den gilt:
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Answer: [latex]
Eine \textbf{Isometrie} eines euklidischen\slash unitären Vektorraums \((V,\scprod{\cdot}{\cdot})\) ist ein Endomorphismus \(f\), für den gilt:
\[
\scprod{f(\vec v)}{f(\vec w)} = \scprod{\vec v}{\vec w}
\]
für alle \(\vec v, \vec w \in V\).
\cite{Def.~10.21}
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Prompt: [latex]
Alle Eigenwerte einer Isometrie \hide{haben Betrag~1.}
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Answer: [latex]
Alle Eigenwerte einer Isometrie haben Betrag~1.
\cite{Satz.~10.22}
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Prompt: [latex]
Eine reelle \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\RR^n\), Standardskalarprodukt), wenn sie invertierbar ist mit Inversem
\[
A^{-1} = \phantom{A^T.}
\]
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Answer: [latex]
Eine reelle \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\RR^n\), Standardskalarprodukt), wenn sie invertierbar ist mit Inversem
\[
A^{-1} = A^T.
\]
\cite{Satz~10.23}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine komplexe \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\CC^n\), Standardskalarprodukt), wenn sie invertierbar ist mit Inversem
\[
A^{-1} = \phantom{\overline{A}^T.}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine komplexe \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\CC^n\), Standardskalarprodukt), wenn sie invertierbar ist mit Inversem
\[
A^{-1} = \overline{A}^T.
\]
\cite{Satz~10.23}
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Prompt3: [latex]
Eine reelle \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\RR^n\), Standardskalarprodukt), wenn ihre Spalten \hide{eine Orthonormalbasis bilden.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine reelle \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\RR^n\), Standardskalarprodukt), wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis bilden.
\cite{Satz~10.23}
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Prompt4: [latex]
Eine komplexe \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\CC^n\), Standardskalarprodukt), wenn ihre Spalten \hide{eine Orthonormalbasis bilden.}
[/latex]
Answer4: [latex]
Eine komplexe \(n\times n\)-Matrix definiert genau dann eine Isometrie auf (\(\CC^n\), Standardskalarprodukt), wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis bilden.
\cite{Satz~10.23}
[/latex]